Lähdekoodi sivulle Χ²-jakauma

{{Todennäköisyysjakauma
  | name       = <math>\chi^2</math>-jakauma
  | type       = density
  | pdf_image  = [[File:Chi-square pdf.svg|321px|Khii toiseen -jakauman tiheysfunktio]]
  | cdf_image  = [[File:Chi-square cdf.svg|321px|Khii toiseen -jakauman kertymäfunktio]]
  | notation   = <math>\chi^2(k)\!</math> tai <math>\chi^2_k\!</math>
  | parameters = <math>k \in \mathbb{N}~~</math>   (tunnetaan "vapausasteena")
  | support    = ''x'' ∈ [0, +∞)
  | pdf        = <math>\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\; x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\,</math>
  | cdf        = <math>\frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\;\gamma\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right)</math>
  | mean       = ''k''
  | median     = <math>\approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3</math>
  | mode       = max{&thinsp;''k'' − 2, 0&thinsp;}
  | variance   = 2''k''
  | skewness   = <math>\scriptstyle\sqrt{8/k}\,</math>
  | kurtosis   = 12&thinsp;/&thinsp;''k''
  | entropy    = <math>\begin{align}\frac{k}{2}&+\ln(2\Gamma(k/2)) \\ &\!+(1-k/2)\psi(k/2)\end{align}</math>
  | mgf        = {{nowrap|(1 − 2&thinsp;''t'')<sup>−''k''/2</sup>}} &nbsp; kun &thinsp;t&thinsp; < ½
  | char       = {{nowrap|(1 − 2&thinsp;''i''&thinsp;''t'')<sup>−''k''/2</sup>}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<ref>{{Verkkoviite | Osoite=http://www.planetmathematics.com/CentralChiDistr.pdf | Nimeke=Characteristic function of the central chi-squared distribution | Tekijä=Sanders, M. A.| Viitattu=2009-03-06}}</ref>
}}
{{DISPLAYTITLE:{{lcfirst:{{PAGENAME}}}}}}

'''<math>\chi^2</math>-jakauma''' on [[Tilastotiede|tilastotieteen]] testeissä käytetty [[jakauma]]. Jos satunnaismuuttujat <math>X_1, \ldots, X_n</math> ovat [[riippumattomuus|riippumattomia]] ja [[normaalijakauma|standardinormaalijakautuneita]], niin niiden neliöiden summa on <math>\chi^2</math>-jakautunut ''n'':llä vapausasteella. Jos <math>X = X_1^2 + \ldots + X_n^2</math>, on siis
<center><math>X \sim \chi^2_n . </math></center>

Jakauman parametri <math>n</math> on positiivinen [[kokonaisluku]]. <math>\chi^2</math>-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten [[reaaliluku]]jen joukko. [[Tiheysfunktio]] on arvojoukossa
<center><math>f_X (x) = \frac{x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}}{2^\frac{n}{2}\Gamma(\frac{n}{2})} , </math></center>
jossa <math>\Gamma(r) = \int_0^\infty x^{r-1} e^{-x} dx</math> on Eulerin [[gammafunktio]].

[[Kertymäfunktio]]ta <math>F_X(x) = \int_0^x f_X(z) dz</math> ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa.

[[Odotusarvo]] ja [[varianssi]] ovat <center><math>\operatorname{E}(X)=n</math> ja <math>\operatorname{Var}(X)=2n .</math></center>

<math>\chi^2</math>-jakauma on [[gammajakauma]]n erikoistapaus:
<center><math>\chi^2 = \operatorname{Gamma}\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right).</math></center>

== Katso myös ==
* [[χ²-testi]]
* [[Khii]]

==Lähteet==
{{viitteet}}

== Aiheesta muualla ==
{{Commonscat|Chi-square distribution}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Chi-SquaredDistribution.html Mathworld: Chi-Squared Distribution] 
* [http://math.aalto.fi/opetus/sovtoda/luennot/TODNJ100.pdf Mellin, Ilkka Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia]

{{Todennäköisyysjakaumat}}

[[Luokka:Todennäköisyysjakaumat]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]