Lähdekoodi sivulle Derivaatta

'''Derivaatta''' tarkoittaa [[Matematiikka|matematiikassa]] [[reaaliluku|reaaliarvoja]] saavan [[funktio]]n herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman [[muuttuja (matematiikka)|muuttujan]] suhteen. Derivaatta on matemaattisen [[Analyysi (matematiikka)|analyysi]]n peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin ''keskimääräisestä muutosnopeudesta'', jonka arvosta määritetään [[raja-arvo]]n avulla ''muutosnopeus yhdessä kohtaa''. Sanaa ''derivaatta'' käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen [[derivaattafunktio]]n [[synonyymi]]nä.<ref name="Derivative" /><ref name="ps7_70" />

Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan [[Sekantti|sekantilla]] (keskimääräinen muutosnopeus), jonka [[kulmakerroin]] on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä [[Tangentti (geometria)|tangentilla]], jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.<ref name=Derivative/><ref name=ps7_70/>

Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion [[differentiaali]]ksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille.<ref name=calculusfennicus/> Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa [[Jacobin matriisi]]n avulla.<ref name=hs_48/>.

== Yhden reaalimuuttujan funktiot ==
[[Tiedosto:Derivative-SVG.svg|pienoiskuva|Sekantin asennon kääntyminen tangentiksi.]]
=== Määritelmä kahden kohdan avulla ===
Yhden reaalimuuttujan funktion <math>f(x)</math> derivaatan <math>f'(x)</math> formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen [[erotusosamäärä]]llä käyttäen valitun välin päätepisteitä <math>x_0</math> ja <math>x</math>
:<math>\frac{\text{funktion f arvon muutos}}{\text{muuttujan x arvon muutos}}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math>
Merkinnällä <math>\Delta a</math> tarkoitetaan [[suure]]en <math>a</math> ''arvojen muutosta'' tai erotusta <math>a_1-a_2</math>. Välin <math>[x_0,x]</math> jälkimmäistä päätepistettä <math>x</math> siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä <math>x_0</math>. Tämä merkitään raja-arvon arvolla
:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math> <ref name=hs_48/>
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla <math>f(x)</math> on derivaatan arvo kohdassa <math>x_0</math>, joka merkitään tavallisesti <math>f'(x_0)</math>. <ref name=springer/><ref name=ps7_70/>

=== Määritelmä välin pituuden avulla ===
[[Tiedosto:Derivative.svg|pienoiskuva|Erotusosamäärä ja sekantti.]]
Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden <math>x_0</math> ja <math>x=x_0+h</math> avulla, missä luku <math>h = x-x_0</math> on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan
:<math>\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.</math>
Nyt väliä <math>[x_0,x]=[x_0,x_0+h]</math> voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua <math>h</math>, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä <math>x_0</math>
:<math>f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.</math> <ref name=Derivative/><ref name=ps7_70/>

=== Funktion kulun tarkastelu ===
Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion [[kulmakerroin]] on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa.<ref>{{Verkkoviite|osoite = http://www.slideshare.net/teemunmatikka/kulkukaavion-tekeminen|nimeke = Kulkukaavion tekeminen|julkaisu = |julkaisija = |viitattu = |tekijä = |ajankohta = }}</ref> Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio ''aidosti kasvava'' tai ''aidosti vähenevä''.

Esimerkiksi kolmannen asteen funktio <math>x^3 + x^2 - 5x</math> derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon <math>3x^2+2x-5</math>. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat <math>x=-5/3</math> ja <math>x=1</math> saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.
{| class="wikitable"
|+'''Funktion <math>x^3 + x^2 - 5x</math> kulkukaavio'''
!
!
!-5/3
!
!1
!
|-
|<math>f'(x)</math>
|<nowiki>+</nowiki>
|
|<nowiki>-</nowiki>
|
|<nowiki>+</nowiki>
|-
|<math>f(x)</math>
|nouseva
|
|laskeva
|
|nouseva
|}

Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä <math>[-3,2]</math>, huomattaisiin, että funktio saisi ''suurimman ja pienimmän arvonsa'' kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat <math>x=-5/3</math> ja <math>x=1</math> ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.

=== Derivaatan olemassaolo ===
Derivaatta on olemassa pisteessä <math>x_0</math>, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi [[toispuoleinen derivaatta|toispuoleisen derivaatan]] käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.<ref name=hs_48/><ref name=ps7_188/><ref name=py18/>

Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi ''matemaattinen määritelmä''. Sellainen on esimerkiksi
:<math>\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : |x-x_0|<\delta \Rightarrow \left|{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}-f'(x_0)\right|<\epsilon\,</math>.

Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille <math>\epsilon >0\,</math> löytyy siitä riippuva luku <math>\delta >0\, </math> siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle <math>\epsilon\,</math>:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle <math>\delta\,</math>:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua <math>\epsilon\,</math> pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi <math>\delta\,</math>, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.

=== Yhden muuttujan derivaattafunktio ===
Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan ''derivoimiseksi''. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös ''derivaataksi''. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.

Määritetään funktion <math>f(x)</math> derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä <math>x</math> hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi <math>f'(x)</math> (käytetään toista määritelmää)
:<math>f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.</math> <ref name=ps7_70/>
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.<ref name=ps7_70/>

Esimerkiksi funktion <math>f(x)=x^2</math> derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:
:<math>f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x^2+2hx+h^2)-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x+0=2x.</math>
Lausekkeella <math>f'(x)=2x</math> voi helposti laskea funktion <math>f(x)=x^2</math> derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.<ref name=hs_48/>

Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.<ref name=ps7_70/>

=== Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja ===
Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
:<math>D x^2=2x.</math> <ref name=Derivative/>

Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään
:<math>f' = f'(x)\,.</math>
Siinä oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa. Mikäli muuttujana on [[aika]] (merkitään ''t''), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
:<math>\dot f = \dot f(t)\,.</math> <ref name=Derivative/>

Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä
:<math>D_xf = \frac{df}{dx}\,.</math>
Merkinnät <math>df</math> ja <math>dx</math> tarkoittavat suureiden <math>f\,</math> ja <math>x\,</math>  [[differenssi|differenssejä]] ja nimittäjästä <math>dx</math> voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.<ref name=Derivative/>

Derivaatan arvo jossakin kohdassa <math>a\,</math> merkitään vastaavasti <math>f'(a)\,</math>, <math>Df(a)\,</math>, <math> \left(\frac{df}{dx}\right)_{x=a}</math> tai <math>\dot f(a)\,.</math>

=== Moninkertaiset derivaatat ===
Kun funktion <math>f\,</math>:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota <math>f\,</math> kutsutaan ''kahdesti derivoituvaksi''. Kahdesti derivoitu funktio eli ''[[toisen kertaluvun derivaatta|toinen derivaatta]]'' määritetään
:<math>f''(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}</math> <ref name=Derivative/>
ja merkitään <math>f''\,</math>, <math>D^2 f(x)\,</math>  tai   <math>\frac{d^2 f}{dx^2}</math>. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos <math>f\,</math>:n <math>(n-1)\,</math>:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on ''<math>n\,</math> kertaa derivoituva'', ja sen ''<math>n\,</math>:ttä derivaattaa'' merkitään <math>f^{(n)}\,</math>, <math>D^n f(x)\,</math>   tai   <math>\frac{d^n f}{dx^n}\,</math>.<ref name=Derivative/><ref name=ps7_83/><ref name=hs_51/>

Jos funktion (<math>n\,</math>:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (<math>n\,</math> kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion <math>n\,</math>:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on <math>C^n\,</math>-[[Ck-funktio|funktio]]. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan <math>C^{\infty}\,</math>-funktio.{{Lähde}}

=== Eräiden alkeisfunktioiden derivointia ===
Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.
{|<!--taulukon määrite--> {{Wikitable}}
|-
! [[Potenssi]]n derivaatta
! [[Trigonometrinen funktio|Trigonometristen funktioiden]] derivaatat
! [[Arkusfunktiot|Arkusfunktioiden]] derivaatat
|-
<!-- taulukko alkaa tästä -->
| <math>D x^n = n x^{n-1}\,</math>, missä <math>n \in \mathbb{Z}</math> || <math>D \sin x = \cos x\,</math>||<math>D \arcsin x = {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,</math>
|-
| <math>D \sqrt{x} = {1 \over 2\sqrt{x}}\,</math> <ref name=ps7_70/>||<math>D \cos x = -\sin x\,</math>||<math>D \arccos x = -{1 \over \sqrt{1-x^2}}\,</math>
|-
| <math>D \sqrt[3]{x} = {1 \over 3\sqrt[3]{x^2}}\,</math>||<math>D \tan x = {1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\,</math>||<math>D \arctan x = {1 \over 1+x^2}\,</math>
|-
|<math>D \sqrt[n]{x} = {1 \over n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\,</math>||<math>D \cot x = -{1 \over \sin^2 x} = -1 - \cot^2 x\,</math>||<math>D \arccot x = -{1 \over 1+x^2}\,</math>
|-
! [[Eksponenttifunktio]]n derivaatta
! [[Hyperbolinen funktio|Hyperbolisten funktioiden]] derivaatat
! Hyperbolisten käänteisfunktioiden derivaatat
|-
| <math>D e^x = e^x\,</math>||<math>D \sinh x = \cosh x\,</math>||<math>D\ \operatorname{arsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}\,</math>
|-
|<math>D a^x = a^x \ln a\,</math>, missä <math>a > 0\,</math>||<math>D \cosh x = \sinh x\,</math>||<math>D\ \operatorname{arcosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}\,</math>
|-
| ||<math>D \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}\,</math>||<math>D\ \operatorname{artanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}\,</math>
|-
! [[Logaritmi]]funktioiden derivaatat !!
|-
| <math>D \ln |x| = {1 \over x}\,</math>||||
|-
| <math>D \log_{a} |x| = {1 \over x \ln a}\,</math>, missä <math>a > 0\,</math> ja <math>a \ne 1</math> ||||
|}

Potenssin derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan
:<math>D f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\,,</math>
jolloin potenssifunktiolle saadaan
:<math>D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}\,.</math>

Koska
:<math>(x+h)^n=a_0x^n + a_1 hx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n\,</math>,

missä <math>a_i</math> vastaa kunkin termin [[binomikerroin]]ta (erityisesti <math>a_0 = 1\,</math> ja <math>a_1 = n\,</math>), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa
:<math>D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(\cancel{x^n} + nhx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n) - \cancel{x^n}}{h}\,</math>
:<math>= \lim_{h \to 0} (nx^{n-1} + a_2 hx^{n-2} + a_3 h^2x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-2}x + h^{n-1})\,</math>
:::<math>= nx^{n-1} + 0 + 0 + ... + 0 + 0\,</math>
:::<math>= nx^{n-1}\,.</math> <ref name=ps7_83/>
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion <math>\sum_{k=0}^n a_kx^k</math> derivaatta.

=== Yleisiä derivointisääntöjä ===
Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.
{|<!--taulukon määrite--> {{Wikitable}}
|-
! Säännön nimi
! Derivointisääntö
|-
<!-- taulukko alkaa tästä -->
| Vakion derivaatta || <math>D c = 0\,</math>, kun <math>c\,</math> on vakio.<ref name=hs_48/>
|-
| Vakion siirto || <math> D c f(x) = c D f(x)\,</math> <ref name=Derivative/><ref name=hs_48/>
|-
| [[Summa]]n derivaatta || <math>D (f(x) + g(x)) = D f(x) + D g(x)\,</math> <ref name=Derivative/><ref name=ps7_83/><ref name=hs_48/>
|-
| [[Tulon derivoimissääntö|Tulon derivaatta]] || <math>D (f(x) g(x)) = g(x)D f(x) + f(x)D g(x)\,</math> <ref name=Derivative/><ref name=ps7_97/><ref name=ps7_178/><ref name=hs_48/>
|-
| Funktion potenssin derivaatta || <math>D f(x)^n = nf(x)^{n-1}f'(x)\,</math> <ref name=ps7_97/><ref name=ps7_107/>
|-
| [[Osamäärän derivoimissääntö|Osamäärän derivaatta]] || <math>D \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)D f(x) - f(x)D g(x)}{g(x)^2}\,</math> <ref name=ps7_107/><ref name=ps7_178/><ref name=hs_48/>
|-
| [[Yhdistetty funktio|Yhdistetyn funktion]] derivaatta || <math>D g(f(x)) = g'(f(x)) f'(x)\,</math> <ref name=hs_48/>
|-
| [[Käänteisfunktio]]n derivaatta  || <math>(f^{-1})'(f(x))= {1 \over f'(x)}\,</math>, jossa <math>f^{-1}\,</math> on <math>f\,</math>:n käänteisfunktio.<ref name=hs_48/>
|}

Vakiofunktion <math>f(x)=c</math> derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:
:<math> Dc = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}{h} = 0.</math>

== Yhden kompleksimuuttujan funktiot ==
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia <math>z = x + iy</math>, ja tietyssä alueessa ''G'' (sisältää luvun <math>z_0</math>) määriteltyä kompleksifunktiota <math>f(z)=u(x,y) + iv(x,y)</math>, pystytään joskus määrittämään funktion <math>f(z)</math> derivaatta.
=== Holomorfinen funktio ===
Derivaatta on olemassa, mikäli <math>f(z)</math> toteuttaa [[Cauchyn–Riemannin yhtälö]]t <ref name=CauchyRiemannEquations/> ja sen [[osittaisderivaatta|osittaisderivaatat]] ovat pisteen <math>z_0</math> ympäristössä ''G'' jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan [[Holomorfinen funktio|holomorfisiksi]] funktioiksi. Silloin raja-arvo
:<math>f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math> <ref name=ComplexDifferentiable/>
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.<ref name=ComplexDerivative/>

=== Derivaatan olemassaolon toteaminen ===
Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki
:<math>f(z)= z^2 = (x+iy)^2 = x^2+xiy + iyx - y^2 = (x^2-y^2)+i(2xy) = u(x,y) + iv(x,y).</math>
Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat <ref name=CauchyRiemannEquations/><ref name=PartialDerivative/>
:<math>u_x(x,y) = { \partial u(x,y) \over \partial x } ={ \partial (x^2-y^2) \over \partial x } =2x-0=2x,</math>
:<math>v_y(x,y) = { \partial v(x,y) \over \partial y } ={ \partial (2xy) \over \partial y } =2x \cdot 1=2x,</math>
:<math>u_y(x,y) = { \partial u(x,y) \over \partial y } ={ \partial (x^2-y^2) \over \partial y } =0-2y=-2y</math> ja
:<math>v_x(x,y) = { \partial v(x,y) \over \partial x } ={ \partial (2xy) \over \partial x } =2 \cdot 1 \cdot y=2y.</math>
Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt
:<math>u_x(x,y)=v_y(x,y)</math>
ja
:<math>u_y(x,y)=-v_x(x,y),</math>
on funktio <math>f(z)= z^2</math> derivoituva.<ref name=CauchyRiemannEquations/>

=== Kompleksifunktioiden derivointikaavat ===
Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.

== Usean muuttujan funktiot ==
Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.
=== Osittaisderivaatta ===
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä [[osittaisderivaatta]], joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.<ref name=PartialDerivative/>

=== Suunnattu derivaatta ===
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä [[suunnattu derivaatta]], joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen [[gradientti]]a. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös [[toispuoleinen derivaatta]].<ref name=DirectionalDerivative/>

==Sovelluksia==
[[Tiedosto:Derivaattaesim.png|right|250px|Esimerkki derivoidusta paraabelista.]]
Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamis[[kiihtyvyys]] <math>g\, </math>, kun mitataan putoavan pallon putoama matka <math>s\, </math> ajan <math>t\, </math> funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista

:<math>s = s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}, \, </math>

ja nopeus <math>v\, </math> on matkan derivaatta ajan suhteen

:<math>v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}\right) = \frac{1}{2}g\ 2 t = gt, </math>

mistä edelleen putoamiskiihtyvyys <math>g\, </math> on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:

:<math>\frac{d^{2}s}{d t} = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{dt}\left(gt\right) =  g.\ </math>

Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä <math>\frac{dx}{dt} = \dot x</math> ja <math>\frac{d^{2}x}{dt} = \ddot x</math>.

== Historia ==
Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muutujan muutosväli. Käyttöön otettiin [[infinitesimaali]]n käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi  funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu [[erotusosamäärä]]llä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän [[raja-arvo]]na.<ref name=Derivative/><ref name=ps7_70/>

Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä [[Isaac Newton]] ja [[Gottfried Leibniz]] 1600-luvulla. Sanan derivaatta (''johdos'') otti käyttöön [[Joseph-Louis Lagrange]] 1700-luvun lopulla.

== Katso myös ==
*[[Osittaisderivaatta]]
*[[Integraalifunktio]]
*[[Jatkuva funktio]]
*[[Gradientti]]

== Lähteet ==
{{korjattava|Helsingin Sanomien pyynnöstä yliopistomatemaatikko arvioi tämän artikkelin ja esitti parannusehdotuksia 30.11.2013, ks. keskustelusivu}}
* {{Kirjaviite | Nimeke = Pitkä Sigma 7 | Julkaisija = Sanoma Pro | Vuosi = 2014 | Tekijä = Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika | Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka = Helsinki | Isbn = 978-952-63-0307-9 | Viitattu = 15.9.2014}}
* Hurri-Syrjänen, Ritva: [https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/58366795/Analyysi1H-S.pdf Differentiaali- ja integraalilaskenta I], (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

===Viitteet===
{{Viitteet|sarakkeet|viitteet=
* <ref name=hs_48>Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 46–51</ref>
* <ref name=hs_51>Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 51–53</ref>
* <ref name=Derivative>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html | Nimeke = Derivative | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=ComplexDerivative>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/ComplexDerivative.html | Nimeke = Complex Derivative | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=CauchyRiemannEquations>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Cauchy-RiemannEquations.html | Nimeke = Cauchy-Riemann Equations | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=ComplexDifferentiable>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/ComplexDifferentiable.html | Nimeke = Complex Differentiable | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=PartialDerivative>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html | Nimeke = Partial Derivative | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=PartialDerivative>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html | Nimeke = Partial Derivative | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=DirectionalDerivative>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html | Nimeke = Directional Derivative | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
* <ref name=springer>{{Kirjaviite | Tekijä = Richard Courant & Fritz John| Nimeke = Introduction to Calculus and Analysis 1| Kappale = | Sivu = 158| Selite = | Julkaisija = Springer | Vuosi = | Isbn = 3-540-65058-X | Viitattu = | Kieli = {{en}}}}</ref>
* <ref name=ps7_70>Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 70–79</ref>
* <ref name=ps7_83>Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 83–92</ref>
* <ref name=ps7_97>Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 97–102</ref>
* <ref name=ps7_107>Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 107–114</ref>
* <ref name=ps7_178>Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 178–179</ref>
* <ref name=ps7_188>Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 188–192</ref>
* <ref name=py18>{{Kirjaviite | Tekijä =Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko | Nimeke =Pyramidi 13 - Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi | Sivut= 42–46 | Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Tammi | Isbn = 978-951-26-5407-9 | Viitattu = 27.9.2014}}</ref>
* <ref name=calculusfennicus>{{Kirjaviite | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Nimeke=Calculus Fennicus | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Isbn = 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)}}</ref>
}}

==Kirjallisuutta==
* {{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf}}

== Aiheesta muualla ==
{{Commonscat|Differential calculus}}
*[http://opetus.tv/maa/maa7/ Matematiikan etäopiskeluympäristö, Derivaatta]. Opetus.tv.
*[https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/intro_differential_calc/v/newton-leibniz-and-usain-bolt ”Newton, Leibniz, and Usain Bolt”]. Khan Academy. {{en}}
*[http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html ”Derivative”]. MathWorld. {{en}}

{{Metatieto}}

[[Luokka:Differentiaalilaskenta]]
[[Luokka:Analyysi]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]]