Lähdekoodi sivulle Maxwellin–Boltzmannin jakauma

{{Todennäköisyysjakauma
| name       = Maxwell–Boltzmann
| type       = density
| pdf_image  = [[File:Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg|325px]]
| cdf_image  = [[File:Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg|325px]]
| parameters = <math>a>0</math>
| support    = <math>x\in (0;\infty)</math>
| pdf        = <math>\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a^3}</math>
| cdf        = <math>\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a} </math> missä erf on [[virhefunktio]]
| mean       = <math>\mu=2a \sqrt{\frac{2}{\pi}}</math>
| median     =
| mode       = <math>\sqrt{2} a</math>
| variance   = <math>\sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}</math>
| skewness   = <math>\gamma_1=\frac{2 \sqrt{2} (16 -5 \pi)}{(3 \pi - 8)^{3/2}}</math>
| kurtosis   = <math>\gamma_2=4\frac{\left(-96+40\pi-3\pi^2\right)}{(3 \pi - 8)^2}</math>
| entropy    = <math>\ln\left(a\sqrt{2\pi}\right)+\gamma-\frac{1}{2}</math>
| mgf        =
| char       =
}}
'''Maxwellin–Boltzmannin jakauma''' (Maxwellin–Boltzmannin statistiikka, MB-statistiikka) on [[todennäköisyysjakauma]], jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman [[molekyyli]]en nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa [[statistinen mekaniikka|tilastollisesta mekaniikasta]] ja sen avulla voidaan selittää [[kaasu]]jen ominaisuuksia kuten [[paine]].

== Yleinen Maxwellin jakauma ==

Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa
:<math>f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3},</math>

missä

* π on vakio [[pii (vakio)|pii]]
* <math>e</math> on [[Neperin luku]]
* <math>a</math> on vakio, joka yli 0
* <math>x</math> on esimerkiksi hiukkasten nopeus

Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan

:<math> F(x)= \textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a}, </math>

missä <math>\textrm{erf}</math> on [[virhefunktio]].

== Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulle ==

[[Kuva:MaxwellBoltzmann gases T0C.png|thumb|right|Maxwell-Boltzmannin jakauma]]

Kaasun [[molekyyli]]en liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa

:<math>f(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} v^{2}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}</math>

eli

:<math>
f (v) = 4 \pi 
\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{3/2}\!\!v^2 \exp \left[ \frac{-mv^2}{2kT} \right]
</math> 

tai

:<math> F(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m_M}{\mathrm{k_B}T} \right)^{3/2} v^2 \exp\left( -\frac{m_M v^2}{2\mathrm{k_B}T} \right) = 4 \pi \left( \frac{M}{\mathrm{2 \pi R}T} \right)^{3/2} v^2 \exp \left( -\frac{M v^2}{2 R T} \right), </math>

missä

* <math>F(v)</math> on nopeudella <math>v</math> liikkuvien [[kaasumolekyyli]]en osuus, esimerkiksi puolet on 0,5
* <math>m</math> on keskimääräinen [[molekyylimassa]] [[kilogramma|kilogrammoina]]
* <math>k</math> on [[Boltzmannin vakio]] 1,3806503*10<sup>-23</sup> JK<sup>-1</sup> 
* <math>T</math> on lämpötila [[Kelvin]]einä
* <math>v</math> on kaasumolekyylin vauhti <math>|\overline{v}|</math>
* <math>M</math> on yhden [[mooli|kaasumoolin]] massa, mikä on molekyylimassa kertaa [[Avogadron vakio]]
* <math>R</math> on yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla

== Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksia ==

Yleisin kaasuosasen nopeus <math>v_p</math> lasketaan kaavasta

:<math>v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} },</math>

missä

* <math>k</math> Boltzmannin vakio
* <math>T</math> lämpötila
* <math>m</math> molekyylimassa
* <math>R</math> yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
* <math>M</math> yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa [[Avogadron vakio]]

Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus

:<math> \langle v \rangle = \int_0^{\infin} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}}.</math>

== Kvanttiteoreettiset jakaumat ==

[[Kvanttiteoria]] on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään [[alkeishiukkanen|alkeishiukkaselle]].  Sen sijaan niihin on sovellettava joko [[Bosen–Einsteinin statistiikka|Bosen–Einsteinin]] tai [[Fermin–Diracin statistiikka|Fermin–Diracin]] statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset [[bosoni|bosoneja]] vai [[fermioni|fermioneja]].  Maxwellin–Boltzmannin jakauma saadaan niistä kummastakin kuitenkin rajatapauksena silloin, kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei [[kvantittuminen|kvantittumista]] tarvitse ottaa huomioon.

== Katso myös ==
* [[Ideaalikaasu]]
* [[Normaalijakauma]]

==Lähteet==
* {{kirjaviite|Tekijä=Paakkari, T.|Nimeke= Termofysiikka|Vuosi= 1997|Julkaisija=Limes ry|Selite=s. 107–113}}

==Aiheesta muualla==
* [http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Maxwellin jakauma] MathWorld {{en}}

[[Luokka:Kaasulait]]
[[Luokka:Statistinen mekaniikka]]
[[Luokka:Todennäköisyysjakaumat]]