Lähdekoodi sivulle Pienin yhteinen jaettava

Kahden tai useamman [[kokonaisluku|kokonaisluvun]] '''pienin yhteinen jaettava''' eli '''pienin yhteinen monikerta'''<ref name=solmu/>, p.y.j., on [[matematiikka|matematiikassa]] pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi [[murtoluku]]jen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut [[tekijä|alkutekijöihinsä]] ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat [[potenssi]]t.

Formaalisti kahden [[luonnollinen luku|luonnollisen luvun]] a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut <math>n_a</math> ja <math>n_b</math>, että

:<math>n_a \cdot a = n_b \cdot b = m</math>.

Siis jos

:<math>a = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdot\cdot\cdot p_n^{a_n} </math>
:<math>b = p_1^{b_1}p_2^{b_2} \cdot\cdot\cdot p_n^{b_n} </math>,

missä <math>p_i</math> on i:s [[alkuluku]] ja jos <math>p_i</math> ei ole luvun tekijä, sitä vastaava [[eksponentti]] <math>a_i</math> tai <math>b_i</math> on nolla, saadaan pyj-kaavaksi

:<math>\operatorname{pyj}(a,b) = p_1^{\max(a_1,b_1)}p_2^{\max(a_2,b_2)} \cdot\cdot\cdot p_n^{\max(a_n,b_n)} </math>


'''Esimerkki:'''

* '''Lukujen 18 ja 20 p.y.j.'''

:<math>18 = 2 \cdot 3^2 </math>

:<math>20 = 2^2 \cdot 5 </math>

:<math>\operatorname{pyj}(18,20) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180</math>.

Huomaa, että <math>\frac{180}{18} = 10</math> ja <math>\frac{180}{20} = 9</math>, eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20.
Lisäksi jos joku luku on jaollinen luvuilla 18 ja 20, se on jaollinen myös luvulla 180.
Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180

---

*''' Lukujen 26 ja 28 p.y.j.'''

:<math>26 = 2 \cdot 13 </math>

:<math>28 = 2^2 \cdot 7 </math>

: <math>\operatorname{pyj}(26,28) = 2^2 \cdot 7 \cdot 13 = 364</math>

---

* Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.

:<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{20}</math>

Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. [[Laventaminen|Lavennetaan]] tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.

:<math>\frac{1}{18} + \frac{1}{20} = \frac{10}{180} + \frac{9}{180} = \frac{19}{180}</math>

----

Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille ''n'' ja ''p'' pätee:

<math>n \cdot p = \operatorname{syt}(n,p) \cdot \operatorname{pyj}(n,p)</math>

== Lähteet ==
* {{Kirjaviite | Tekijä = Rosen, Kenneth H. | Nimeke = Elementary Number Theory and Its Applications | Vuosi = 1984 | Julkaisija = Addison-Wesley | Julkaisupaikka = Reading, Massachusetts | Isbn = 0-201-06561-4 | Kieli = {{en}} | Sivut = 72}}

===Viitteet===
{{Viitteet|refs=
<ref name=solmu>{{Verkkoviite | Osoite = https://matematiikkalehtisolmu.fi/sanakirja/p.html | Nimeke = Matematiikan verkkosanakirja - Matematiikkalehti Solmu | Tekijä = | Tiedostomuoto = | Selite = | Julkaisu = | Ajankohta = | Julkaisupaikka = | Julkaisija = | Viitattu = 9.11.2018 | Kieli = }}</ref>
}}

== Katso myös ==

* [[Aito jakaja]]
* [[Suurin yhteinen tekijä]]
* [[Yhteinen tekijä]]

[[Luokka:Algebra]]