Diracin deltafunktio

Diracin deltafunktion skemaattinen esitys pystyviivan ylittävän nuolenkärjen avulla. Nuolen korkeus osoittaa kertoimen, joka vastaa sen alla olevan alueen pinta-alaa.

Diracin deltafunktio Gaussin jakaumakäyrien $\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$ rajatapauksena, kun $a\to 0.$

Diracin deltafunktio on brittiläisen fyysikon Paul Diracin käyttöön ottama matemaattinen konstruktio. Intuitiivisesti se voidaan käsittää eräänlaiseksi erikoislaatuiseksi funktioksi, jonka kuvaaja on sellainen äärettömän terävä piikki, jonka alle jäävä pinta-ala on 1. Diracin deltafunktiolla on integraalilaskennassa vastaava merkitys kuin Kroneckerin deltalla sarjateoriassa. Signaalinkäsittelyn alalla sitä sanotaan myös yksikköimpulssifunktioksi. Diracin deltafunktiota käytetään esimerkiksi sähködynamiikassa kuvaamaan pistemäisen varauksen varaustiheyttä.

Tarkkaan ottaen Diracin deltafunktio ei ole aito funktio vaan jakautumafunktio, kuten vaikkapa "pistemäinen" elektroni. Sitä käytetään kuvaamaan sellaisia tapauksia, joissa jokin suure on keskittynyt niin pienelle alueelle, että kaukaa katsoen sen voidaan katsoa keskittyneen yhteen pisteeseen.

Yleistä

Diracin deltafunktio on karkeasti ajatellen käsitettävissä funktioksi, jonka arvo on nolla kaikkialla muualla paitsi nollassa, jossa se on ääretön:

$\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

ja joka lisäksi toteuttaa ehdon

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$

Tämä on kuitenkin vain heuristinen määritelmä, sillä nimestään huolimatta deltafunktio ei ole tavanomaisessa mielessä funktio.

Yleensäkin on

$\int _{a}^{b}\delta (x)\,dx=1.$,

jos a < 0 < b, mutta

$\int _{a}^{b}\delta (x)\,dx=0.$,

jos a ja b ovat joko molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia. Täten Diracin deltafunktio on Heavisiden funktion derivaatta.

Diracin deltafunktio voidaan kertoa mielivaltaisella reaaliluvulla A, jolloin saadun funktion integraali on A. Kuitenkin esimerkiksi funktiot f(x) = δ(x) ja g(x) = 2 δ(x) ovat kaikkialla yhtä suuret, myös nollassa, jossa molemmat saavat arvon ääretön, mutta kuitenkin niiden integraalit ovat eri suuret. Tämä on kuitenkin ristiriidassa Lebesguen integraaliteorian kanssa. Sen mukaan jos funktiot f ja g saavat saman arvon melkein kaikkialla (toisin sanoen kaikkialla muualla paitsi joukossa, jonka Lebesguen mitta on nolla), silloin g on integroituva, jos ja vain jos f on integroituva ja molempien funktioiden integraalit ovat yhtä suuret. Diracin deltafunktio voidaankin täsmällisesti määritellä ainoastaan matemaattisten distribuutioiden teorian avulla.

Diracin deltafunktiota käytetään runsaasti fysiikan eri aloilla. Integroitaessa se on hyvin hyödyllinen sellaisten funktioiden approksimaationa, jotka ovat terävän piikin muotoisia. Se voidaan käsittää samankaltaiseksi abstraktioksi kuin massapiste tai pistemäinen sähkövaraus. Mekaniikassa sitä voidaan soveltaa törmäyksiin, esimerkiksi pallon lyöntiin pesäpallomailalla, jolloin palloon kohdistuva voima vaikuttaa vain äärimmäisen lyhyen ajan, mutta pallon liikemäärän ja liike-energian muutos ja siten voiman impulssi ja sen tekemä työ ovat helposti todettavissa. Tällöin voidaan ajatella palloon kohdistuvan voiman vaihdelleen ajan funktiona Diracin deltafunktion mukaisella tavalla.

Laskukaavoja

Jos f(x) on mielivaltainen funktio ja a < 0 < b, on

$\int _{a}^{b}f(x)\delta (x)\,dx=f(0)$.

Deltafunktio voidaan skaalata seuraavasti (edellyttäen, että $\alpha$ ei ole nolla),

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$

mistä saadaan:

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}$

Tämä skaalausominaisuus voidaan yleistää muotoon:

$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

missä luvut x_i ovat funktion g(x) nollakohdat. Näin ollen on esimerkiksi

$\delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x+\alpha )+\delta (x-\alpha )]$

Integraalimuodossa tämä skaalaus voidaan esittää seuraavasti:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

n-ulotteisessa avaruudessa, jossa paikkavektori on $\mathbf {r}$, tämä voidaan yleistää muotoon

$\int _{V}f(\mathbf {r} )\,\delta (g(\mathbf {r} ))\,d^{n}r=\int _{\partial V}{\frac {f(\mathbf {r} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d^{n-1}r$

missä oikeanpuoleinen integraali on otettu alueen $\partial V$ yli, joka on yhtälön $g(\mathbf {r} )=0$ määrittelemä n-1  -ulotteinen pinta.

Deltafunktiolle on myös voimassa:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,dt=f(T)$

Deltafunktio jakaumana

Diracin deltafunktio voidaan käsittää myös todennäköisyysjakauman erikoistapaukseksi. Se kuvaa sellaista satunnaismuuttujan rajatapausta, jossa muuttuja saa aina saman arvon. Sen avulla voidaan myös diskreetit jakaumat käsittää jatkuvien jakaumien erikoistapauksiksi, joissa tiheysfunktio on muotoa

$\Sigma _{n}A_{n}\delta (x-a_{n})$

Tällöin jakautunut muuttuja voi saada vain tiettyjä arvoja, ja tiheysfunktion kuvaaja muodostuu toisistaan erillään sijaitsevista piikeistä.

Jakaumana Diracin deltafunktio vastaa myös sellaista normaalijakauman rajatapausta, jossa keskihajonta on nolla.

Todennäköisyysjakaumana Diracin deltafunktion karakteristinen funktio on vakio 1 ja momenttigeneroiva funktio vakio 0. Sitä vastaava kertymäfunktio on 0 negatiivisilla ja 1 positiivisilla muuttujan arvoilla.

Aiheesta muualla

• MathWorld
• PlanetMath
• Diracin deltafunktion integraali- ja sarjaesityksiä
• Diracin deltamitta on hyperfunktio
• Diracin deltafunktion integraalin yksikäsitteisyyttä koskeva matemaattinen todistus
• Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.